cancelar
Showing results for 
Search instead for 
Do you mean 

Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

Highlighted

Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

Olá,

Venho aqui propor uma discussão matemática a respeito da mecânica de jogo da Yuumi.
Mais especificamente, sobre a eficiência de dano em utilizar ou não W - Você e Eu! durante a realização de objetivos globais (ié. torres, dragões, arauto e barões).
Por simplicidade, faremos todos os cálculos baseados em ataques básicos.

Primeiramente, vamos definir alguns objetos:
Seja N = nível do campeão, K = nível da habiliade.
1) Status da Yuumi: 
     Ataque = 51,9+3,1N
     Velocidade de Ataque = (0,25+0,75N)*0,625
2) AD Bônus de W - Você e Eu!
     AD = 2*(K+1)+(1+3K)%

"Fonte: lolwiki (09/08/2019)"

Agora, consideremos as seguintes funções:
1) f(N) = (51,9+3,1N)(0,25+0,75N)0,625 = 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
2) g(X,Y,K) = [X+2(K+1)](1+3K)Y/100 = [6K²+(8+3X)K)+(X+2)]Y/100
3) h(X,Y) = XY
f(N) representa o DPS do ataque básico de Yuumi.
g(X,Y,K) representa o DPS do ataque básico de um campeão, cujo AD = X e Velocidade de Ataque = Y, o qual está sob influência de W - Você e Eu!
h(X,Y) representa o DPS do ataque básico de um cappeão, cujo AD = X e Velocidade de Ataque = Y.

Estamos interessado em descobrir quando g(X,Y,K) > f(N)+h(X,Y).
ie, quando utilizar o W gera mais DPS que ambos atacando juntos. Assim:
[6K²+(8+3X)K+(X+2)]Y/100 > XY + 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
Assim, teremos:
[6K²+(8+3X)K+X+2]Y > 100XY + 145,3125N² + 2481,25N + 810,9375
[6K²+(8+3X)K+2]Y+XY > 100XY + 145,3125N² + 2481,25N + 810,9375
[6K²+(8+3X)K+2]Y > 99XY + 145,3125N² + 2481,25N + 810,9375
Neste ponto, vamos simplificar as casas decimais para uma casa após a virgula.
(6K²+(8+3X)K+2)Y > 145,3N² + 2481,3N + 810,9 + 99XY

0 > 145,3N² + 2481,3N + 810,9 + 99XY - (6K²+(8+3X)K+2)Y
0 > 145,3N² + 2481,3N + 810,9 + (99X - 6K²-(8+3X)K-2)Y
0 > 145,3N² + 2481,3N + [810,9 - (6K² + (8+3X)K + 2 - 99X)Y]

Note que queremos a desigualdade acima sendo verdadeira. Como todos os termos dependentes de N são positivos, mas a expressão a direita tem que ser negativa, significa que quanto maior N, maior terá que ser K, X e Y, portanto, vamos procurar pelo valor máximo de N (em função de K, X e Y) para o qual a desigualdade vale. Para isso, utilizaremos da fórmula de bhaskara para escrever N < q(X,Y,K), assim:
(utilizaremos a parte positiva da raiz, pois, caso contrário, teríamos N < 0, o que não é válido)

N < -2481,3/(2*145,3) + sqrt(2481,3² - 4*145,3*[810,9 - (6K² + (8+3X)K + 2 - 99X)Y])/(2*145,3)
N < -8,5385 + sqrt(72,9067 - (4*145,3/290,6²)*[810,9 - (6K² + (8+3X)K + 2 - 99X)Y])
N < -8,5385 + sqrt(72,9067 - 0,00688*[810,9 - (6K² + (8+3X)K + 2 - 99X)Y])
N < -8,5385 + sqrt(72,9067 - 0,00688*810,9 + 0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X])
N < -8,5385 + sqrt(67,3258 + 0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X])

Neste ponto, é relevante nos perguntarmos a respeito da existência matemática da resposta.
Para isso, consideremos 'válida' respostas onde N>=1, assim teremos:

1 < -8,5385 + sqrt(67,3258 + 0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X])
9,5385 < sqrt(67,3258 + 0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X])
90,983 < 67,3258 + 0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X]
23,657 <  0,00688Y*[6K² + (8+3X)K + 2 - 99X]
23,657 < 0,04128K²Y + 0,00688(8+3X)KY + 0,01376Y - 0,68112XY
23,657 < 0,06061K²Y + 0,01010(8+3X)KY + 0,02020Y - XY (simplesmente dividi tudo por 0,68112 para simplificar)
XY + 23,657 < 0,06061K²Y + 0,0808KY + 0,0303KXY + 0,02020Y
(1 - 0,0303K)XY + 23,657 <  [0,06061K² + 0,0808K + 0,02020]Y

Vamos parar por um momento e interpretar o que acontece neste ponto.
Se Y = 0 (o ailado não ataca), teremos 23,657 < 0, obviamente, é inútilutilizar o W - Você e Eu!
Se X = 0 (o aliado não tem AD), teremos 23,657 < AY, com A>0, ou seja, ainda é matemáticamente possível que seja mais eficiente utilizar o W (pois W - Você e Eu! concede AD base, fazendo assim o aliado de fato ter AD), se o aliado tiver Velocidade de Ataque superior a 23,657/A.
Porém, como K é um número inteiro entre 1 e 5, e A = 0,06061K²+0,0808K+0,0202, temos que o maior valor de A possível é 1,93945, logo o menor valor possível para 23,657/A  é Y = 12,1978. Ou seja, a não ser que tal aliado consiga executar aproximadamente 12,2 ataques por segundo, não valerá a pena utilizar W - Você e Eu! (o que eu acredito ser impossível).

Esta observação deixa a dúvida: "Dadas as limitações de League, existem X e Y tais que g(X,Y,K) > f(N)+h(X,Y), mesmo considerando exigindo o mínimo de f(N) e o melhor aproveitamento de K?"

Voltando à equação, e lembrando que desejamos minimizar o valor na esquerda e maximizar o valor na direita, vemos que assumir K = 5 somente ajuda no nosso objetivo, então, assim o faremos antes de prosseguir.

(1 - 0,0303K)XY + 23,657 <  [0,06061K² + 0,0808K + 0,0202]Y
(1 - 0,0303*5)XY + 23,657 <  [0,06061*5² + 0,0808*5 + 0,0202]Y
(1 - 0,1515)XY + 23,657 <  [1,51525 + 0,4040 + 0,0202]Y
(1 - 0,1515)XY + 23,657 <  [1,51525 + 0,4040 + 0,0202]Y
0,8485XY + 23,657 < 1,93945Y
23,657 < 1,93945Y - 0,8485XY
23,657 < [1,93945 - 0,8485X]Y

Aqui, é natural sentir estranheza quanto à validade da equação, pois vemos que se X (o AD do aliado) for grande (X > 2,28574 aproximadamente) a equação se torna impossível. Neste momento, chamo atenção para a primeira desigualdade desta discussão.
g(X,Y,K) = [6K²+(8+3X)K+(X+2)]Y/100 > XY + 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375 = f(N) + h(X,Y)
Colocando em evidência os termos dependentes de X em g(X,Y,K), temos:

[6K²+(8+3X)K+(X+2)]Y/100 = [6K²+8K+3XK+X+2]Y/100
= [6K²+8K+2]Y/100 + [3XK+X]Y/100 = [6K²+8K+2]Y/100 + [3K+1]XY/100 
Assumindo K = 5, temos:
[6*25+8*5+2]Y/100 + [3*5+1]XY/100  = 192Y/100 + 16XY/100
Assim teremos:
1,92Y + 0,16XY > XY + 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
1,92Y > (1 - 0,16)XY + 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
1,92Y > 0,84XY + 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
1,92Y - 0,84XY > 1,453125N² + 24,8125N + 8,109375
(1,92 - 0,84X)Y > f(N)

Novamente, f(N) nunca é negativo para valores inteiros positivos de N, logo, percebemos novamente que, para valores 'grandes' de X  (X>2,8571 desta vez) a equação se torna impossível.
Logo, vemos que, assumindo a limitação 1<K<5 e ainda a otimização K=5, a equação torna-se matemáticamente possível somente para valores de X<2,8, o que, em League, é impossível, pois não existem campeões que comecem com 2,8 ou menos de AD.

Relembrando:
A pergunta inicial era "quando utilizar o W gera mais DPS que ambos atacando juntos?"
E a resposta que obtemos, matemáticamente foi "Mesmo que Yuumi esteja nível 1 (menor DPS no ataque básico), com seu W - Eu e Você! no nível 5 (maior eficiência do W), só valerá a pena ela utilizar o W em um aliado ao invés de atacar o objetivo juntamente a ele, se este aliado possuir, NO MÁXIMO, 3 de AD"

Mesmo que a conclusão pareça um absurdo, vale lembrar que, no corpo deste post:

1) Definindo f(N), g(X,Y,K) e h(X,Y), propomos estudar a validade da equação g(X,Y,K) > f(N) + h(X,Y), onde pudemos escrever f(N) > g(X,Y,K) - h(X,Y) = j(X,Y,K), e, como f(N) consistia basicamente num polinômio de segundo grau, pudemos (pegando somente os termos de raiz positiva da fórmula de Bhaskara) inverter a função f(N), ou seja, onde tinhamos y = f(N), pudemos escrever N = f^(-1)(y), com isso, escrevemos f(N) = f(f^(-1)(y) = y > j(X,Y,K), e considerando valores "realistas dentro de League" para y e K, conseguimos ainda transformar esta desigualdade em i(X,Y) > C, onde C foi o resultado das suposições mais otimistas para y e K, e, ao final disso, conseguimos verificar claramente para quais valores de X e Y vale a desigualdade i(X,Y) > C, chegando assim à conclusão de que deveriamos ter X < 2,28574, algo provavelmente impossível em League, assim, chegando a esta estranha (mas verídica) conclusão.

2) Uma vez feitas todas estas observações, podemos voltar na primeira desigualdade e olhar para a proposta g(X,Y,K) > f(N) + h(X,Y) com outro intúito. Desta vez, procurando uma maneira rápida e limpa de escrever i(X,Y) > C. Desta vez, como não fizemos suposições sobre o nível (N) de Yuumi, à direita da desigualdade não obtivemos um número C, mas mantivemos a função f(N). Ainda sim, por f(N) se tratar de um polinômio extritamente positivo para N>0, pudemos enxergar que i(X,Y) > f(N) só é válido para valores de X<3.

(Podemos ainda fazer esta suposição, neste caso
assumindo N = 1, teríamos f(N) = 34,375, e acabamos com os dois casos:
[1,92-0,64X]Y > 34,375 e [1,93945-0,8485X]Y > 23,657
Dividindo ambas as equações por suas respectivas constantes, teremos
[0,055854 - 0,018618X]Y > 1 e [0,081982 - 0,0358668X]Y > 1
O que nos permite escrever facilmente:
Y > 100/[5,5854 - 1,8618X] e Y > 100/[8,1982 - 3,58668X]
Ou seja, explicitando ainda min{Y} = f(X), e, com uma análise gráfica, vemos que as curvas que descrevem ambas as funções não são muito distantes, com o erro facilmente sendo causado pelos sucessivos arredondamentos feitos ao longo do desenvolvimento das desigualdades no primeiro método. Uma análise feita com frações (a qual não é prática em um fórum como este) certamente seria mais precisa)

[Edit: Havia um erro na segunda parte (onde dizia que 3*5+1 = 36, ao invés de 16), após corrigir isto, a diferença dos valores máximos de X se tornou menor que 0,0004, logo, as funções são realmente muito próximas]

Lembrando novamente que: Isto prova "somente" a eficiência do DPS supondo que o aliado em questão utilizará somente ataques básicos. O caso em que habilidades são constantemente usadas não pode ser generalizado, e seria necessária uma análise caso a caso da eficiência do DPS. Além disso, trocando "X = AD" por "X = Dano não-verdadeiro causado em ataques básicos", todas as contas permanecem válidas.

No caso de sujestões de alterações, correções, ou queira contrubuir de alguma forma com a discussão, fique a vontade para utilizar a sessão de comentário. Smiley Happy

4 RESPOSTAS

Re: Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

Chegando no final desta análise (que me custou algumas horas), achei justo mencionar que estou cursando Bacharelado em Matemática, e ao longo da produção deste texto, vendo o rumo que ele levava, senti imensa alegria em perceber que poderia trazer uma visão mais "realista" de como nós lidamos com a matemática de verdade, modelando problemas, desenvolvendo ideias, pondo as hipóteses a prova e buscando maneiras cada vez melhores de apoiar uma verdade, por mais absurda que ela pareça. Assim, se você chegou até aqui, entendeu o que fiz, ou ao menos teve interesse de entender melhor como foi feito, para mim vale mais do que o objetivo inicial do post.
Dragão

Re: Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

Desculpa mas eu não entendi nada kkkk vou dar gg só pq vc manja muito de matemática, admiro muito quem é bom nisso
Aronguejo

Re: Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

cara, vai ser um engenheiro, fisico , algo assim, seu lugar nao e aqui
Não existe drama em uma morte tranquila.
~ Jhin

Re: Yuumi, Matemática e Objetivos Globais

Sou bacharel em matemática, é um pouquinho mais forte que isso. shaushaushau